El cumpleaños de Adelaida, la lógica y la física cuántica

Stella Baruk, basándose en una carta de Gustave Flaubert a su propia hermana, popularizó en un libro de referencia para la pedagogía de las matemáticas (L´âge du capitaine) un enunciado plagado de datos innecesarios e inexplotables, más o menos como el siguiente: "Un barco zarpa el 14 de mayo del 2014 de Buenos Aires con rumbo a Vigo; la velocidad de crucero que puede alcanzar, si hace buen tiempo, es 14 nudos; arriba a destino el 30 de junio; el barco transporta 537 ovejas, de un peso medio de 51 kilogramos por oveja, y 245 vacas de un peso medio de 567 kilogramos; el capitán se llama Marcel, nació en Brest un 25 de enero de año impar y tiene una hermana, Francine, 2 años menor. ¿Cuál es la edad del capitán sabiendo que la mitad de su vida ha estado embarcado?".

Presentado el problema en distintas versiones, se ha constatado que alrededor del 60% de alumnos de secundaria suele encontrar resultados precisos o entrega operaciones aritméticas y algebraicas con algún tipo de respuesta, solo aproximadamente un 40% responde, correctamente, que los datos no permiten encontrar la solución.

Se trata, desde luego, de un enunciado que pretende confundir al interrogado pero una lectura medianamente atenta descubre fácilmente el truco llegándose a una conclusión muy en la línea de lo expresado en el último aforismo del Tractatus por Ludwig Wittgenstein: De lo que no se puede hablar debe guardarse silencio. Es decir, aquello que no esté definido rigurosamente no debe discutirse.

De otro calado es un problema de lógica -El cumpleaños de Cheryl- propuesto en Singapur a estudiantes de 14 y 15 años con el fin de seleccionar a los que competirían posteriormente en las Olimpiadas Matemáticas. Debido a su aparente dificultad, la pregunta fue divulgada en redes sociales, prensa y televisiones de todo el mundo. Lo cual sirvió a la difusión propagandística de la superioridad matemática de los jóvenes orientales. Y, claro, de tanto decírselo acabarán creyéndolo. Mientras, a nuestros estudiantes les hundimos la autoestima con el riesgo de que consideren que las matemáticas no son para ellos.

El enunciado de El cumpleaños de Cheryl es el siguiente. Albert y Bernard preguntan a Cheryl cuándo es su cumpleaños. Cheryl les plantea un enigma con diez posibles fechas: 15, 16 y 19 de mayo; 17 y 18 de junio; 14 y 16 de julio; 14, 15 y 17 de agosto. Además, informa secretamente a Albert del mes y a Bernard del día. Tras pensárselo un rato, Albert afirma: No sé cuándo es el cumpleaños de Cheryl, pero sé que Bernard tampoco lo sabe. A lo que Bernard responde: Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños, pero ahora ya lo sé. Albert reflexiona y concluye: Entonces yo también sé cuándo es su cumpleaños. Con estos datos, los observadores (estudiantes examinados para las susodichas Olimpiadas o lectores de este periódico) deben averiguar la fecha del cumpleaños.

El mecanismo lógico que lleva a la solución, según el profesor-diseñador del problema, es el siguiente. Por la primera afirmación de Albert (que conoce el mes) los meses no pueden ser mayo ni junio ¿Por qué? No puede ser mayo porque es el único mes de la lista con el día 19 y cabría la posibilidad que Bernard lo conociese (está informado del día) acertando sin duda posible en la fecha del cumpleaños. Tampoco puede ser junio al ser el único mes con el día 18 que también garantizaría a Bernard la solución.

Eliminados mayo y junio, la consiguiente afirmación de Bernard (Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Cheryl, pero ahora ya lo sé) solo es coherente si se descarta el día 14 porque podría ser de julio o agosto y no garantizaría la certeza. Las fechas posibles para el cumpleaños son, finalmente, 16 de julio, 15 de agosto y 17 de agosto. Hasta aquí el observador no tiene suficiente información para encontrar la respuesta pero la última afirmación de Albert (Si Bernard lo sabe, entonces yo también) se la suministra. Tiene que ser en julio pues, al haber eliminado el 14, solo queda un día, el 16, y en agosto no podría estar seguro: hay dos fechas posibles, 15 y 17. La respuesta correcta es por tanto el 16 de julio.

Creemos que -incluso siendo la respuesta correcta- el mecanismo lógico explicado por el profesor-diseñador asiático no corresponde al que lógicamente debería seguirse. El verdadero protagonista no es Albert ni Bernard sino el observador: es el que debe romper el enigma. No obstante, el observador dispone de menos información que Albert o Bernard. En cierta medida, si bien la presencia del observador no afecta al resultado -contrariamente a la física cuántica cuya más conocida paradoja en relación con el observador es el gato de Schrödinger- sí afecta al proceso lógico que lleva al resultado.

La astucia es la siguiente. Hay una información pública -días y meses posibles para el cumpleaños de Cheryl- que conocen Albert, Bernard y el observador. Y hay una información privada que solo conocen Albert (el mes) y Bernard (el día). Por tanto, como el observador dispone de menos información que Albert y Bernard será imposible que, en este contexto, encuentre la buena respuesta si no la encuentran Albert y Bernard (no uno u otro sino uno y otro) En consecuencia, para que el enigma no sea un conjunto de datos inexplotables (recuérdese L´âge du capitaine) se irán eliminando lógicamente todas las condiciones que impidan que Albert y Bernard encuentren la solución.

Con esta premisa lógica en mano proponemos una secuencia más sencilla y rigurosa que la de los genios orientales de las matemáticas. En primer lugar, hay que aconsejar a los estudiantes que presenten siempre los datos claramente (la presentación del profesor-diseñador de Singapur no permite una visualización inmediata) como en el cuadro adjunto (Cuadro 1).

El cuadro sintetiza toda la información pública disponible y permite a Bernard (conoce el día) y a Albert (conoce el mes) visualizar también la información privada asimétrica que ignora el observador. Bernard sabe que el cumpleaños de Adelaida -llamémosla así para españolear- tiene que ser forzosamente el 16 de mayo o el 16 de julio. Albert sabe que el cumpleaños tiene que ser el 14 de julio o el 16 del mismo mes. Insistimos: esta información privada la ignora el observador (alumnos/ lectores/ autores de este artículo). El segundo paso consiste en explicitar un presupuesto implícito: el problema tiene solución para el observador y es única o quizás no la tenga. Si Albert o Bernard no encuentran la solución, el observador no podrá encontrarla. Finalmente, debido a la falta de información del observador respecto a Albert y Bernard es preciso que la revelen, al menos en parte, para poder obtener una solución. Partimos de Albert para mantener la secuencia de la versión seminal: habla primero el que conoce el mes.

En nuestra versión Albert dice: "Si el enigma tiene solución yo sé cual es y ahora también lo sabe Bernard" (y podría añadir: y asimismo lo sabe el observador si sabe observar) La afirmación de Albert es suficientemente explícita para que el observador elimine mayo y junio (con los mismos argumentos que en la versión original) con lo cual queda (Cuadro 2).

El día 14 corresponde a dos meses posibles y agosto tiene tres días posibles. Estas condiciones deben eliminarse para que Albert y Bernard sepan la solución (los dos, no uno de ellos) premisa lógica fundamental en este contexto para que el observador, que dispone de menos información privada que ambos, pueda alcanzarla: imparablemente la solución es el 16 de julio.

Trivialmente, esa es la dinámica lógica que debe seguirse, no el diálogo para besugos que propone el profesor-diseñador de Singapur. Obsérvese que nuestra versión se limita a un monomio semántico (afirmación de Albert) mientras que la otra presentación requería un trinomio (afirmación de Albert, afirmación de Bernard, afirmación de Albert)

Las propuestas para reparar el desaguisado cometido en España en la enseñanza de las matemáticas -¿profesores, programas, entorno?- son múltiples y confusas. Una que goza de gran predicamento es importar modelos hoy día exitosos -el finlandés, el coreano o el de Singapur- pero es imposible transferir por completo las pautas mentales y culturales de una sociedad a otro contexto, con lo cual puede ser peor el remedio que la enfermedad. Como hemos visto en El cumpleaños de Adelaida, la lógica oriental de la enseñanza de las matemáticas no es superior a la de los españoles. Simplemente, debemos volver a métodos suficientemente probados. Es decir: 1) sintetizar claramente la información de los problemas y preguntas de lógica recurriendo a cuadros o dibujos cuando sea posible; 2) explicitar las hipótesis y condiciones subyacentes.

Por otro lado, en esto de las comparaciones entre países abundan las trampas. John D. Barrow -catedrático de matemáticas aplicadas y física teórica en la Universidad de Cambridge- en el séptimo capítulo de su libro de divulgación Las constantes de la naturaleza escribe: "Durante mucho tiempo se afirmó que los estudiantes de algunos países del sudeste asiático eran mejores (en matemáticas) que los del Reino Unido. Posteriormente se descubrió que los alumnos más débiles eran tempranamente apartados del sistema escolar. La consecuencia era que se producía un sesgo por elevación de la media". Esta afirmación de Barrow prueba, además, que se puede ser extraordinario matemático y mediocre razonador.

Sobra decir que en países occidentales con abundantes alumnos asiáticos sustraídos al sistema de segregación del que habla Barrow se comprueba que también obtienen mejores notas en matemáticas que los alumnos del Reino Unido (y, en general, que los alumnos de origen occidental). Sin embargo, cuando se escarba un poco se constata que las capacidades lógicas de los orientales no son superiores a las de los occidentales (cosa distinta es que estén bien entrenados para responder en los tests o exámenes) ¿Cuál es en definitiva la razón de mejores notas? Razonablemente, las familias asiáticas -a la par que los judíos entre los occidentales- invierten más tiempo y dedicación que el resto en la formación de sus hijos.

Juan José R. Calaza es economista y matemático

Joaquín Leguina Herrán es Estadístico Superior del Estado