Si π existe, dios también

Ahora bien, la verdadera razón de ser del título del artículo es otra. El lunes (14 de marzo) de la semana que hoy muere fue el Día internacional de π (no oficial, salvo en EE UU). Y no siendo esta constante moco de pavo es una excelente ocasión para hablar de ella.

¿Por qué el catorce de marzo? Cuando en España vemos escrito 14/3/2016, interpretamos catorce de marzo de 2016. En la notación de los anglosajones, habida cuenta que el mes precede al día, la misma fecha se escribe 3/14/2016. Y toda vez que prácticamente no hay persona alfabetizada que no sepa que 3,14 coincide con las tres primeras cifras de π, a un físico en EE UU se le ocurrió proponer, hace algunos años, el catorce de marzo día de la susodicha constante.

Las piezas periodísticas que leí tratando del asunto se recreaban, con abuso de insistencia, más en lo anecdótico y trivial que en la verdadera naturaleza e importancia de π. Por anecdótico entiendo, por ejemplo, relatar minuciosamente el récord de memorización de decimales, conseguido por un señor japonés, o el último digito obtenido por una supercomputadora.

¿π es verdaderamente constante?

La constante ? se asocia generalmente a Arquímedes si bien egipcios y babilonios la conocían hace 4000 años. Arquímedes constató que el cociente entre la longitud de la circunferencia (o perímetro, P, del círculo) y el diámetro (2r) tenía el mismo valor en todos los círculos y era asimismo igual al cociente entre la superficie del círculo, disco, y el radio (r) al cuadrado. Arquímedes evaluó π entre 3,1408 y 3,1429.

¿Estamos seguros que el valor de π (3,1415...) que se deriva del enunciado más arriba permanece constante cuando el círculo es más grande o más pequeño? La respuesta habitual es positiva pero errónea. Es posible demostrar que la respuesta afirmativa es correcta en todo espacio en el que existe una noción de distancia y en el que se verifica el teorema de Tales. Dicho de otra forma π no depende del círculo con esas hipótesis. Sin entrar en una axiomática complicada, los espacios matemáticos en los que este razonamiento es posible se llaman espacios euclídeos/euclidianos. En general se admite (erróneamente) que nuestro espacio físico-geométrico es un espacio euclídeo y por tanto π es una constante física medible experimentalmente a partir de cualquier círculo o circunferencia cuando se evalúa P/2r. En realidad las cosas no son tan sencillas.

Para entender que la geometría depara sorpresas en relación con los conocimientos elementales pensemos en el caso del triángulo. Todo el mundo sabe que los ángulos de un triángulo suman 180° ¿Siempre? Siempre que se trate de una superficie plana como la del plano cartesiano. Pero en una esfera los ángulos de un triángulo suman más de 180° (la suma aumenta con la superficie del triángulo) y en una silla de montar, con curvatura negativa, o en una esfera de Beltrami, suman menos de 180°. Algo parecido sucede con el valor de π: el espacio físico-geométrico deforma su valor. Por tanto π no puede ser una constante físico-geométrica, puesto que su valor depende del círculo, sino matemática.

Entiendo que lo anterior pueda sorprender a algunos lectores, por novedoso, pero sorprenderá menos a quienes leyeron en este diario mis artículos de Teoría de Relatividad General (TRG) y recuerden la curvatura del espacio-tiempo.

π y la Relatividad General

Nuestro espacio físico no es perfectamente euclídeo. No es exactamente un espacio teórico imaginado como en el que Arquímedes y los geómetras babilonios y egipcios hicieron sus cálculos. Eso lo sabemos por la TRG aunque los conceptos básicos son muy anteriores. Parten de la reconsideración e incluso negación del quinto postulado de Euclides. Sus genitores van de Gauss a Riemann -cuyo modelo geométrico-esférico realizó la auténtica ruptura con el modelo euclídeo- aunque también pueden asociarse los nombres de Bolyai (padre e hijo) Lobachevski y Beltrami, fundadores de la geometría hiperbólica, menos profundos y radicales que Riemann. Cuestión aparte es el disco de Poincaré.

Al no ser nuestro espacio físico-material euclídeo π depende del círculo que se considere. En cierta medida las leyes geométricas de nuestro espacio se asemejan a las de la esfera (las rectas se convierten en geodesias) debido a la deformación que predice la TRG.

En nuestro espacio, que es el equivalente tridimensional de una superficie algo más complicada que la de la esfera, la RG predice un comportamiento de π en función del círculo. Desde un punto de vista práctico, en los círculos que encontramos habitualmente, los errores de medida, sin ser grandes, son muy superiores a la desviación relativista sobre π (imposible de medir experimentalmente en la actualidad). Aun así hay que aceptar que por el efecto relativista π no es una constante físico-geométrica puesto que su valor varía.

¿π es una constante física o matemática?

Si π fuera una constante físico-geométrica estas dificultades fundamentales no podrían ser ignoradas en la práctica en aras de mejorar su conocimiento y aplicarlo a la investigación física. Pero π es también una constante definida en el universo matemático. Ahora bien, las definiciones no geométricas actuales de π meten miedo. Si pudiéramos definir π por radicales habríamos evitado dificultades teóricas. Lo cual nos lleva a la cuadratura del círculo.

El planteamiento del problema clásico de la cuadratura del círculo es bien conocido: construir con regla y compás un cuadrado que tenga el área de un círculo dado. Para simplificar, si el radio del círculo es de un metro su area será π metros cuadrados. Por tanto, el problema plantea si es posible construir con regla y compás un segmento (el lado del cuadrado que buscamos) cuya longitud sea exactamente raíz cuadrada de π .

La cuadratura del círculo

Los geómetras griegos además de regla y compás disponían de otros instrumentos -especialmente un tipo de curvas, quadratrices, que permitían cuadrar el círculo- pero les intrigaba el porqué de que sin ellas no podían construir un cuadrado de la misma área que un disco dado. A partir del siglo XVIII los matemáticos empezaron a entender que la cuadratura del círculo estaba íntimamente relacionada con otra cuestión: la naturaleza aritmética del número π ¿Se puede escribir como el cociente de dos números enteros positivos? Es decir ¿es π un número racional? Si nos contentamos con dos decimales, 22/7 es una buena aproximación de π pero si exigimos seis decimales entonces hay que recurrir a 355/113. No existe, sin embargo, ningún cociente de números enteros positivos que nos dé π puesto que no es un número racional.

El primero en demostrar que π no es racional fue el matemático alemán Johann Heinrich Lambert en 1761, en la prueba sugirió de consuno que π tampoco era número algebraico. Efectivamente, la irracionalidad de π era insuficiente para probar la imposibilidad de la cuadratura del círculo.

Un número algebraico es un número (real o complejo) que es solución (o raíz) de una ecuación polinómica con coeficientes enteros en los que por lo menos uno es no nulo. Una ecuación polinómica bien conocida es la de segundo grado que se estudia en enseñanza secundaria. Todos los números racionales son algebraicos pero no todos los números algebraicos son racionales, los hay también irracionales. Los números que no son algebraicos son trascendentes.

En 1837 Pierre Wantzel estableció rigurosamente la relación entre la naturaleza aritmética de un número y la posibilidad de construirlo a la regla y al compás. Los números construibles son algebraicos (pero los números algebraicos no son todos construibles). Por tanto un número trascendente no puede construirse a la regla y al compás.

Una vez la irracionalidad de π demostrada y la noción de trascendencia precisada, saber si π era trascendente o no constituyó el desafío mayor para probar la imposibilidad de la cuadratura del círculo.

De ello se encargó Von Lindemann (1882) inspirándose en los trabajos de Charles Hermite que en 1873 había probado la trascendencia de la constante e base de los logaritmos neperianos.

¿Y dios?

Cabe preguntarse si dios -o Dios- sería capaz de realizar la cuadratura del círculo recurriendo a su divina omnipotencia. Se trata de probar por una especie de contradicción lógica -de ahí la paradoja- que incluso Dios no podría ser omnipotente y por tanto no sería Dios.

Si la cuadratura del círculo fuera posible para dios estaría violando las propias leyes científicas que creó y no sería por tanto capaz de crear leyes científicas perfectas, universales e inviolables, y tampoco sería capaz de crearse a sí mismo. Por otra parte, si dios no pudiera cuadrar el círculo no sería superior a los humanos y carecería del atributo de la omnipotencia.

Mi opinión es que si dios no pudiese hacer lo imposible ello no probaría que no fuese omnipotente. Todo lo contrario, la omnipotencia divina consistiría en una perfección absoluta capaz de generar leyes científicas perfectas imposibles de violar.

Pero lo que dios no puede quizás lo consiga Dios. En 1925 Tarski propuso un problema que concerniente a un tipo especial de cuadratura del círculo: ¿es posible recortar un círculo/disco de área S en un número finito de piezas y reorganizarlas ensamblándolas (sin deformarlas) en un cuadrado de la misma área? En 1989 el matemático húngaro Miklós Laczkovich demostró, recurriendo al axioma de la elección (o axioma de la escogencia) que la cuadratura era posible mediante el recorte y ensamblado de aproximadamente 10 potencia 50 piezas del círculo. Pero para obtener el resultado el recorte de las piezas no puede hacerse con tijeras (teorema de la curva de Jordan, muy importante en topología) sino que las piezas utilizadas en la demostración son subconjuntos especiales.

Fíjense ustedes si hay diferencia entre Dios y dios que Juan Ramón Jiménez -tanto escribía gitano como jitano o jirafa como girafa- no fue recibido por Ramón Gómez de la Serna, en Buenos Aires, porque el primero escribía dios.