¿Quién encuentra las mejores soluciones, la abeja o el ser humano?

Me fascinan las abejas domésticas. No son cualquier cosa. El escritor belga Maurice Maeterlinck (Nobel de Literatura, 1911) que ejerció considerable influencia en las primeras obras teatrales de García Lorca, fue también el feliz autor de "La vida de las abejas". Tanto le apasionaba su estudio que albergaba en el gabinete de trabajo parisino una "colmena de observación", con acceso al exterior, acristalada y con un único panal -provista de cortinillas negras- que permite observar las abejas por ambos lados. Inspirado en el maestro, tengo una colmena en mi zulo parisino, garantía de que solo se atreve a entrar quien verdaderamente me quiere.

A Maeterlinck le intrigaba sobremanera el, así llamado, "espíritu de la colmena" ¿Cómo se coordinan las abejas si nadie da órdenes? ¿Qué instinto las lleva a ello y cuál es el significado profundo cristalizado en un orden perfecto? Pero sin que resulte mecánico pues saben como tratar las excepciones o variaciones en el entorno. Esto escribía en el ensayo: "Creemos conocer las abejas y nos damos por satisfechos. Pero si miramos más de cerca y tratamos de darnos cuenta de lo que vemos, se nos presenta la enorme complejidad de los fenómenos más naturales, el enigma de la inteligencia, de la voluntad, de los destinos, del fin, de los medios y de las causas, la organización incomprensible del más humilde acto de la vida".

La estructura hexagonal es óptima. Sin ir más lejos ¿qué cabe decir de la estructura geométrica de los panales? Pues que la abeja doméstica, Apis mellifera, parece dotada de un instinto matemático verdaderamente portentoso. La estructura hexagonal de los alvéolos/celdillas de los panales fascina a la humanidad desde que empezó a entender la geometría.

Al parecer fue Zenodoro (siglo II antes de Cristo) el primer geómetra en demostrar que los únicos polígonos regulares que permiten el teselado del plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Fue también el primero en estudiar cuestiones de isoperimetría que significa, literalmente, con perímetro igual. Se llama teselado el recubrimiento o pavimentación del plano con piezas idénticas, regulares o irregulares. El teselado cumple con dos requisitos: 1) que no queden huecos; 2) que no se superpongan las figuras. Entre las posibilidades de teselado con piezas regulares, las hexagonales, como las celdillas de los panales, son las más eficaces puesto que ofrecen el menor perímetro posible para un área dada. En el caso de las abejas, esta propiedad minimiza la cantidad de cera empleada en la construcción de las paredes de los alvéolos. Por tanto, si el objetivo teleológico de las abejas es consumir la menor cantidad de cera, fatigarse menos y ser más útiles a la comunidad o, más bien, a la especie, es lógico que las abejas escojan un teselado hexagonal.

Pero más importante aun, se cree que Zenodoro conjeturó en su libro, hoy perdido, "De las figuras isomorfas" lo que actualmente se conoce como "Teorema del nido de abejas" y hasta los años 1999-2002 fue la "Conjetura del nido de abejas" (The Honeycomb Conjecture): entre todos los polígonos, convexos y no convexos, con lados rectos o curvos, la estructura hexagonal regular sigue siendo la más económica para el teselado del plano. Si tantos años se tardó en convertir la conjetura en teorema es que la demostración entrañaba una enorme dificultad. Una primera prueba rigurosa la aportó el matematico húngaro Lászlo Fejes Tóth limitándose al caso de la convexidad. Posteriormente, Thomas Hales (primera versión del teorema en 1999 con redacción definitiva en 2002) demostró que el teselado convexo hexagonal es el más eficaz posible, superior a cualquier otra pavimentación no convexa o cualquiera que se compusiera de piezas con un lado curvo como mínimo.

La ley de las superficies mínimas. Si bien se mira, nuestras domésticas libadoras parecen geniales geómetras ¿Cómo proceden las abejas arquitectas, albañiles, cereras y escultoras? ¿Escogen verdaderamente el teselado hexagonal o algo se lo impone? ¿De dónde proviene su instinto geométrico? ¿El comportamiento es genético, determinado por su genoma por razones evolutivas? Son cuestiones relativas al debate entre innato y adquirido y a la selección natural que creo no conviene abordar metafísicamente, sin olvidar que circula por ahí mucha leyenda urbana en todo lo concerniente a las abejas. Las abejas no utilizan el teselado hexagonal para mostrar lo listas que son. La talla de los alvéolos y la forma está determinada por la de las larvas. Si estas tuvieran una sección triangular los alvéolos serían prismas triangulares.

Kepler y Darwin consideraban que la forma hexagonal del reticulado del panal obedecía simplemente a que la presión de las células/celdillas adyacentes deformaba la forma natural circular en un hexágono. De esa guisa, las abejas fabricarían alvéolos de forma cilíndrica puesto que es la forma natural más simple. Es decir, las abejas construyen células circulares que por deformación de la presión se convierten en hexagonales. Bajo este enfoque, las abejas no tienen necesidad de saber fabricar alvéolos hexagonales ya que las burbujas de jabón lo hacen de forma completamente natural en la superficie de un líquido. Los círculos al pegarse unos a otros -cada circulo está rodeado de otros seis del mismo radio- adoptan la forma hexagonal ya que la Naturaleza escoge el camino más corto siguiendo la "ley de las superficies mínimas".

La sorprendente geometría del fondo de los alvéolos. Pero ahora viene lo bueno: la estructura de los panales de abeja europea es mucho más compleja que la optimización con hexágonos. La estructura está constituida de dos conjuntos de prismas hexagonales pegados espalda contra espalda, fondo contra fondo, a fin de rellenar el espacio entre dos planos paralelos. Sin embargo, el fondo de los alvéolos/prismas no es plano. Los prismas no ajustan los fondos con una retícula lisa hexagonal sino mediante una estructura compuesta de tres rombos iguales de manera que cada prisma casa con otros tres compartiendo un tercio de fondo común con cada uno de ellos (relación 1-3 imitada en las estructuras metálicas). El ensamblaje es perfecto.

A principios del siglo XVII Kepler observó que los fondos están constituidos por tres rombos iguales dispuestos como en un dodecaedro romboidal. Cada prisma está en contacto con otros seis por los lados y tres por el fondo. Kepler fue el primero en estudiar este poliedro, que posee numerosas propiedades y se encuentra con frecuencia en la naturaleza. La primera gran propiedad del dodecaedro (piense el lector en los granos de una granada) rómbico es que pavimenta el espacio. Además, pertenece al mismo sistema de simetría que el cubo.

La solución de los tres rombos, puede demostrarse matemáticamente, es más ecónoma en cera que la hexagonal plana. ¿Por qué se emplea menos cera en los rombos que en un hexágono plano a pesar del enunciado del Teorema del nido de abejas? Porque en este caso el problema se presenta en el espacio, no en el plano. La figura formada por los tres rombos corresponde a un poliedro que pavimenta el espacio: no hay pérdida de volúmenes. Además, esta forma permite la máxima densidad para los huevos y se calientan mejor entre ellos.

Ahora bien, para el fondo de los alvéolos ¿las abejas encontraron la solución óptima? Depende. Desde el punto de vista geométrico la solución no es óptima en relación con un solo prisma pero respecto al conjunto, sí. Si se trata de la cantidad de cera utilizada en un único prisma, el matemático húngaro Lászlo Fejes Tóth -de nuevo él- demostró que el octaedro truncado hubiera sido más interesante. Sin embargo, sin otros requisitos, no se puede injertar un octaedro truncado en un prisma hexagonal. La solución sería estirar el octaedro de base y recortar las cimas. Al seguir las cimas superiores e inferiores una proporción diferente de las del plano ecuatorial obtendríamos un octaedro truncado cuyas caras son cuadrados, rombos y hexágonos irregulares pero simétricos con relación a sus centros. Es evidente que la estructura propuesta por Tóth es bastante compleja y obligaría a las abejas, a pesar de los automatismos del instinto y la práctica de la elaboración, a un ajuste fino para casar perfectamente todos los lados respetando las simetrías. Además, se perdería la relación 1-3 del encaje de los prismas con fondos romboidales. Con la solución puramente geométrica de Tóth aplicada a un solo prisma, la ganancia en superficie es inferior al 1% (0,34%). Se sigue que la cera economizada teniendo en cuenta el espesor de los alvéolos sería mínima (el espesor del fondo es inferior a 300 micrometros, solamente los bordes de los alvéolos son algo más espesos para evitar que se desmenucen) pero el trabajo mayor con el consiguiente gasto de energía que deberían suplir las abejas con más alimentación y por tanto más trabajo. Lo importante, no obstante, es la pérdida de la relación 1-3. Es decir, echando todas las cuentas, la mejor solución de conjunto es la adoptada por las abejas que es además la que ha inspirado al hombre para la elaboración de estructuras metálicas ligeras y súper-resistentes.

Por tanto, habida cuenta que una solución geométrica inspirada por la inteligencia humana sería subóptima me entra la duda de si la optimización de las abejas no será divina o, quizás, diabólica. A menos que, más prosaicamente, sea pura y simplemente fruto de la especialización colectiva. Buffon, que resentía una antipatía especial por las abejas, decía que tomadas de una en una tienen menos ingenio que el perro o el mono y que su sociedad no es otra cosa que una reunión física ordenada por la Naturaleza e independiente de todo conocimiento, de todo razonamiento. Bien es verdad, sin embargo, la Naturaleza soporta todo lo que le echen a las espaldas. Ocurre que, si no debemos admirar las aladas bebedoras de rocío, guerreras de envenenados dardos, siempre podremos deslumbrarnos ante la Naturaleza.