Poincaré, el último científico universal

Henri Poincaré (no confundir con su primo Raymond, presidente de la República Francesa durante la Primera Guerra Mundial) destacó asimismo como físico, astrónomo y filósofo de la ciencia. Aunque se repute a Gauss (1777-1855) de haber sido probablemente el genio matemático de mayor envergadura que ha existido, a Poincaré lo honró el Circolo Matematico de Palermo (la sociedad matemática más prestigiada de Italia, país de grandes matemáticos) con el título de "Príncipe de las matemáticas", igualándolo al matemático alemán a quien el rey de Hanover otorgó el honor de "Príncipe de los matemáticos" inscrito en medallas conmemorativas.

Curiosamente, una anécdota relacionada con las matemáticas une a Poincaré con Fernando Savater, a quien los españoles, los cuatro que quedamos, hemos dado el título de "Príncipe de la dignidad". Me contó Fernando que aprobó el bachillerato por los pelos al sacar uno en matemáticas y diez en las materias de letras, o algo por el estilo. Poincaré llegó tarde al examen de matemáticas del bachillerato y no le dio tiempo a leerlo, tuvo que tragarse un cero pero lo compensó con las notas en otras asignaturas. Se desquitaría dos años después al ingresar con el número uno en Polytechnique, integrando el Cuerpo de Minas en 1875 y sosteniendo el doctorado, increíblemente original, en ciencias matemáticas en 1879.

Como un nuevo Gauss, Henri Poincaré dejó a la ciencia en general y a las matemáticas en particular una obra monumental que no ha sido aún completamente explotada. Para muchos, su nombre sonó cuando el estrafalario y mediatizado Grigori Perelman resolvió la conjetura que lleva su nombre. "La conjetura de Poincaré" -que, simplificando, puede enunciarse "la esfera es el único espacio de dimensión 3 cerrado desprovisto de agujeros"- no fue demostrada hasta el 2003.

Henri Poincaré era no obstante frágilmente humano y capaz de cometer errores. Su error más notorio se asocia a la primera resolución del "problema de los tres cuerpos". En 1887 Poincaré optó al premio propuesto por el rey Oscar II de Noruega y Suecia que ganaría quien resolviera las cuestiones que planteaba la estabilidad del sistema solar. Desde Kepler y Newton se sabía resolver las ecuaciones de la gravitación en presencia de dos cuerpos, pero para tres cuerpos, o más, no se conocía ninguna solución analítica y por tanto nadie podía demostrar la estabilidad o inestabilidad del sistema solar. Poincaré logró probar la estabilidad de un sistema restringido de tres cuerpos (un cuerpo, de masa nula, no influía a los otros) ganando el premio.

Sorprendentemente, el trabajo de Poincaré era irremisiblemente falso. El error se descubrió gracias a una observación del joven matemático Lars Phragmen. Hubo que retirar todos los ejemplares impresos y distribuidos sustituyéndolos por la nueva versión corregida, revolucionariamente diferente, financiada por el propio Poincaré, que tuvo que pagar en la reimpresión de la memoria más de lo que había cobrado por el premio. La corrección del error condujo a una revolución matemática al demostrar Poincaré que las ecuaciones deterministas no son siempre previsibles poniendo fin al dogma del determinismo de Laplace. Pero además Poincaré comprendió que la susodicha imprevisibilidad constituía una ventaja desde la perspectiva de un tratamiento estadístico de las propiedades de las ecuaciones. Poincaré sigue de esa guisa la senda de los científicos que a partir del siglo XVII se propusieron domar y explotar las posibilidades que ofrece el azar.

Al resolver correctamente el problema de los tres cuerpos, Poincaré sentó en mecánica celeste las bases de la teoría del caos -antes que Mandelbrot la popularizara- al apercibirse que, si bien obedecen a la gravitación universal de Newton, sus trayectorias están influidas por una fuerte dependencia de las condiciones iniciales. La memoria en la que resolvió este problema inauguró según Karl Weierstrass -considerado el padre del análisis matemático moderno- "una nueva era en la historia de la mecánica celeste".

No carece de interés histórico mencionar que el jurado del premio lo constituían el sueco Gösta Mittag-Leffler, el francés Hermite, director de tesis de Poincaré, y el alemán Weierstrass, aunque Oscar II quería que lo presidiera un matemático italiano, lo cual no fue posible por desavenencias profesionales. Años después Mittag-Leffler y Lorentz intentarían influir en la Academia de Ciencias sueca para que le otorgaran el Nobel de Física a Poincaré por la autoría incuestionable del artículo seminal de la Teoría de la Relatividad Especial, pero el comité concernido consideró el trabajo demasiado teórico para la época.

Mittag-Leffler, discípulo de Hermite y Weierstrass, fundó la revista "Acta Mathematica", que pronto alcanzó reputación mundial. En ella publicaron, entre otras firmas, Poincaré, Hermite, Weierstrass, Cantor y la anarco-nihilista rusa Sofía Kowalevski. Kowalevski, que llegaría a catedrática en Estocolmo, fue la primera mujer en doctorarse en matemáticas, bajo la dirección de Weierstrass, en Alemania (in absentia) y la segunda en el mundo (su predecesora fue María Gaetana Agnesi, siglo XVIII, Bolonia).

Aunque fundamentalmente matemático, en 1890 Poincaré abandonó la cátedra de física matemática y cálculo de probabilidades por la de astronomía matemática, de la Sorbonne. En estos campos, incluso el Príncipe de las matemáticas se vio por momentos desbordado por las sutilezas de los conceptos asociados a la transición entre el carácter impredecible de las ecuaciones deterministas sensibles a las condiciones iniciales y la predictibilidad estadística. Entre 1893 y 1895 Poincaré volvió a cometer un error gravísimo, del que nunca fue consciente, al manifestar severas dudas en relación con la ecuación de Boltzmann, una de las piedras angulares de la física estadística, conocida por su carácter irreversible y el crecimiento inexorable de la entropía. La entropía caracteriza la complejidad de un sistema, describe la irreversibilidad de los sistemas dinámicos, pero tiene diferentes significados. La entropía alcanza su máximo cuando el sistema se acerca al equilibrio, por ejemplo, si se ponen en contacto un trozo de hierro caliente con otro frío: el metal caliente se enfría y el frío se calienta.

Poincaré, constatando, al tiempo que otros físicos y matemáticos, la contradicción aparente entre la reversibilidad de las ecuaciones de la mecánica de Newton y la irreversibilidad de las ecuaciones de Maxwell y Boltzmann aplicó un tipo de razonamiento al problema, amparándose en su célebre "teorema de recurrencia", constitutivo de una serie de objeciones clásicas de parte de la comunidad científica a la teoría de Boltzmann toda vez que contradecía las propiedades fundamentales de los sistemas dinámicos. Tomándome alguna libertad, el "teorema de recurrencia" viene enunciando (en la versión que lleva a la paradoja de Zermelo) que si un neumático inflado se desinfla por el paso del tiempo el sistema volverá antes o después al entorno del estado inicial, es decir, la rueda volverá a inflarse, una infinitud de veces, sin intervención de terceros. Evidentemente, el tiempo necesario sobrepasaría la edad del universo pues un centímetro cúbico de aire contiene 10 potencia 20 moléculas. Pero si se hace una simulación informática con diez moléculas el fenómeno se observa.

Ochenta años después, el físico y matemático Oscar Landford, también especialista de la teoría del caos, probó el error de Poincaré estableciendo un puente riguroso entre la mecánica de Newton y la ecuación de Boltzmann. Entre tanto, Boltzmann se había suicidado (1906).

*Economista y matemático